Lineare Algebra · Normalformen
Eine diagonale Matrix versteht man sofort: Sie streckt ein paar Richtungen, sonst nichts. Nur lässt sich nicht jede Matrix so schreiben. Die Jordansche Normalform sagt, wie nah man herankommt — und was genau im Weg steht.
01 — Motivation
Eine Matrix ist erst einmal ein Kasten voller Zahlen. Was sie tut, sieht man ihr nicht an. Es sei denn, sie ist diagonal — dann steht alles da:
Drei Achsen, drei Faktoren, fertig. Keine Vermischung, kein Drehen. Und was für die Anschauung gilt, gilt genauso fürs Rechnen: Potenzen einer Diagonalmatrix sind Potenzen der Einträge.
Die Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, … ist eine Matrixpotenz in Verkleidung:
Will man F100, kann man hundertmal multiplizieren. Oder man diagonalisiert. Die Eigenwerte sind der Goldene Schnitt φ = (1+√5)/2 und sein Partner ψ = (1−√5)/2, und heraus fällt eine geschlossene Formel:
Dieselbe Rechnung steckt hinter linearen Differentialgleichungssystemen, hinter Markov-Ketten, hinter der Hauptkomponentenanalyse. Überall dieselbe Bewegung: in die Eigenbasis wechseln, dort trivial rechnen, zurückwechseln.
Bleibt die Frage, die diese Seite behandelt: Was macht man, wenn es nicht geht?
02 — Die Bausteine
Eine Matrix verbiegt den Raum. Meistens zeigt ein Vektor danach woandershin als vorher. Manchmal aber nicht — dann bleibt er auf seiner Geraden und wird nur gestreckt, gestaucht oder umgeklappt.
Definition
v ≠ 0 heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ, wenn Av = λv. Der Eigenraum Eig(λ) = ker(A − λI) sammelt alle davon, samt der Null.
Die Eigenwerte findet man als Nullstellen des charakteristischen Polynoms χA(t) = det(tI − A). Und genau hier hängt alles Weitere an einer Frage der Algebra: Zerfällt dieses Polynom in Linearfaktoren?
Interaktiv
Das Einheitsgitter, verzerrt durch verschiedene Matrizen. Die farbigen Strahlen sind Eigenrichtungen — Richtungen, auf denen die Abbildung nur streckt.
Eine Drehung um 90° hat über den reellen Zahlen keine Eigenrichtung — jeder Vektor zeigt hinterher woandershin. Über den komplexen Zahlen bekommt sie die beiden Eigenwerte i und −i und damit auch zwei Eigenrichtungen.
Das ist die erste von zwei Arten, wie Diagonalisieren scheitern kann, und die harmlosere: Sie verschwindet, sobald man den Körper groß genug wählt. Alles Folgende setzt deshalb voraus, dass χA zerfällt — über C ist das nach dem Fundamentalsatz der Algebra immer der Fall.
03 — Der Bruch
Diese hier lässt sich nicht wegdefinieren. Betrachte die Scherung
Ihr charakteristisches Polynom ist (t − 2)2 — es zerfällt, der einzige Eigenwert ist 2, und er ist doppelt. Trotzdem gibt es nur eine Eigenrichtung: Löst man (J − 2I)v = 0, bleibt nur die erste Koordinatenachse übrig.
Für eine Diagonalisierung bräuchte man zwei unabhängige Eigenvektoren. Es gibt nur einen. Die Matrix ist nicht diagonalisierbar, und daran ändert kein Körperwechsel etwas.
Der Moment, in dem es kippt
Schieb ε und beobachte die beiden Eigenrichtungen. Für ε ≠ 0 sind es zwei, die Matrix ist diagonalisierbar. Bei ε = 0 fallen sie zusammen.
04 — Die Messgröße
Der Abstand zwischen „das Polynom sagt zweifach“ und „es gibt nur eine Richtung“ lässt sich messen. Man zählt zweimal, auf zwei verschiedene Arten.
algebraisch
a(λ) = Vielfachheit von λ als Nullstelle von χA. Steht im Polynom, ist leicht zu bestimmen.
geometrisch
g(λ) = dim ker(A − λI). Das ist die Dimension des Eigenraums — die Zahl, auf die es wirklich ankommt.
die Differenz
a(λ) − g(λ). Genau so viele Eigenvektoren fehlen. Ist er überall null, ist die Matrix diagonalisierbar.
Es gilt immer
A ist genau dann diagonalisierbar, wenn χA zerfällt und für jeden Eigenwert g(λ) = a(λ) gilt.
| Matrix | χ | a(λ) | g(λ) | diagonalisierbar? |
|---|---|---|---|---|
| 2003 | (t−2)(t−3) | 1, 1 | 1, 1 | ja — schon diagonal |
| 2002 | (t−2)² | 2 | 2 | ja — der ganze Raum ist Eigenraum |
| 2102 | (t−2)² | 2 | 1 | nein — Defekt 1 |
| 0−110 | t²+1 | — | — | über R nein, über C ja |
Sei g = g(λ) und v1, …, vg eine Basis von Eig(λ). Ergänze sie zu einer Basis von V.
In dieser Basis hat die Abbildung Blockgestalt, denn die ersten g Basisvektoren werden auf ihr λ-faches abgebildet:
Für die Determinante einer solchen Blockdreiecksmatrix gilt
Der Faktor (t − λ) kommt also mindestens g-mal vor — vielleicht öfter, falls χB ihn ebenfalls enthält. Damit ist a(λ) ≥ g.
Und g ≥ 1 gilt, weil λ als Nullstelle von χ die Matrix A − λI singulär macht, ihr Kern also nicht nur die Null enthält.
05 — Der Ausweg
Bei der Scherung J ist ker(J − 2I) nur eindimensional. Aber rechne einmal weiter: Der Kern des Quadrats ist schon der ganze Raum.
Das ist keine Ausnahme, sondern das Muster. Die Kerne wachsen, bis sie sich nicht mehr ändern, und was sie am Ende einfangen, ist genau so groß, wie das charakteristische Polynom es versprochen hat.
Definition
Der Hauptraum zu λ ist
Er enthält den Eigenraum und ist im Allgemeinen größer. Seine Dimension ist immer die algebraische Vielfachheit: dim H(λ) = a(λ).
Die Kernkette
Die Kerne der Potenzen von A − λI wachsen streng, bis sie stehen bleiben. Was sich nicht mehr ändert, ist der Hauptraum.
Zerlegungssatz
Zerfällt χA mit den Eigenwerten λ1, …, λr, so ist
Jeder Hauptraum ist A-invariant, und auf H(λ) ist A − λI nilpotent.
06 — Der Kern der Sache
N heißt nilpotent, wenn irgendeine Potenz verschwindet: Nk = 0. Das kleinste solche k ist der Nilpotenzindex.
Solche Abbildungen sind das genaue Gegenteil von diagonalisierbar — jedenfalls, wenn sie nicht null sind. Ihr einziger Eigenwert ist 0, und wären sie diagonalisierbar, müssten sie die Nullmatrix sein.
Genau darum geht es. Was eine nilpotente Abbildung tut, ist schieben: Es gibt Ketten von Vektoren, in denen jeder auf den nächsten abgebildet wird, bis einer auf null geht.
Sei Nv = λv mit v ≠ 0. Wendet man N wiederholt an, folgt Nkv = λkv.
Für großes k ist die linke Seite null, also λkv = 0, und da v ≠ 0 ist, muss λ = 0 sein.
Umgekehrt gilt: Ist der einzige Eigenwert 0 und zerfällt χ, dann ist χ(t) = tn, und nach Cayley–Hamilton ist Nn = 0. Nilpotent und „nur Eigenwert 0“ sind dasselbe.
07 — Die Bausteine
Nimm einen Vektor v und wende N immer wieder an, bis nichts mehr übrig ist. Was dabei entsteht, ist eine Jordankette.
Eine Kette der Länge 4
Der von v erzeugte Unterraum heißt zyklisch: Ein einziger Vektor erzeugt ihn, wenn man N dazunimmt. Ordnet man die Basis rückwärts — der Kernvektor zuerst, die Spitze zuletzt — dann hat N dort die denkbar einfachste Gestalt:
Nimmt man den Eigenwert wieder dazu, steht das fertige Jordankästchen da: λ auf der Diagonale, Einsen darüber.
Sei Nkv = 0, aber Nk−1v ≠ 0. Behauptet wird: v, Nv, …, Nk−1v sind linear unabhängig.
Angenommen, es gibt eine Relation
mit nicht lauter Nullen. Sei cj der erste Koeffizient, der nicht null ist. Wende Nk−1−j auf die Gleichung an.
Jeder Summand mit Index i > j wird zu Nk−1−j+iv, und wegen k−1−j+i ≥ k ist das null. Übrig bleibt allein
Da Nk−1v ≠ 0 ist, folgt cj = 0 — Widerspruch. Also war die Relation trivial.
08 — Die Buchhaltung
Wenn sich jede nilpotente Abbildung in Ketten zerlegen lässt, dann ist sie durch die Längen dieser Ketten vollständig beschrieben. Und Kettenlängen kann man malen: eine Spalte pro Kette, ein Punkt pro Vektor.
Interaktiv
Sechs Dimensionen, verschieden aufgeteilt. Jede Spalte ist eine Kette, jede Zeile eine Stufe der Kernkette. Unten stehen die Vektoren, die schon im Kern liegen.
Ablesen statt raten
Die Anzahl der Kästchen zu λ mit Größe mindestens j ist
Und die Anzahl mit Größe genau j ist dj − dj+1. Damit ist die ganze Jordanform aus Rängen berechenbar — ohne einen einzigen Eigenvektor auszurechnen.
Die Ränge von Nj hängen nicht von der gewählten Basis ab. Wenn also zwei Jordanformen dieselbe Abbildung darstellen, liefern sie dieselben Ränge — und damit dieselben dj, also dieselben Kästchengrößen.
Die Reihenfolge der Kästchen bleibt frei. Mehr Freiheit gibt es nicht.
09 — Das Ergebnis
Jordansche Normalform
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über K und f: V → V linear, sodass χf über K in Linearfaktoren zerfällt.
Dann gibt es eine Basis von V, bezüglich derer f durch eine Blockdiagonalmatrix aus Jordankästchen dargestellt wird. Die Kästchen sind bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Die Aussage lässt sich in drei Zeilen zusammenfassen, und jede entspricht einem Kapitel dieser Seite:
Kapitel 05
Der Raum zerfällt in Haupträume, einer pro Eigenwert. Auf jedem bleibt nur noch ein nilpotenter Rest.
Kapitel 06–07
Jeder nilpotente Rest zerfällt in Ketten. Eine Kette ist genau ein Kästchen.
Kapitel 08
Die Kettenlängen liegen durch die Ränge fest. Deshalb ist das Ergebnis eindeutig.
Über R kann man eine reelle Jordanform angeben, in der Paare komplex konjugierter Eigenwerte als 2×2-Drehkästchen auftauchen. Über beliebigen Körpern übernimmt die rationale Normalform (Frobenius-Normalform) die Rolle — sie kommt ohne Eigenwerte aus und existiert immer.
10 — Der Kern
Nach dem Zerlegungssatz genügt der nilpotente Fall. Der eigentliche Kunstgriff ist, die Induktion nicht auf einen beliebigen Unterraum anzuwenden, sondern auf das Bild.
Zu zeigen
Ist N: V → V nilpotent und dim V = n, so besitzt V eine Basis, die aus Jordanketten besteht.
Induktionsanfang. Für n = 0 ist nichts zu zeigen.
Induktionsschritt. Sei n ≥ 1 und die Aussage für alle kleineren Dimensionen bewiesen. Ist N = 0, so tut es jede Basis (lauter Ketten der Länge 1). Sei also N ≠ 0.
Damit ist die Menge eine Basis aus Ketten, und der Induktionsschritt ist vollzogen. ∎
Der Trick steckt in Schritt 1. Man könnte versuchen, über ker N zu induzieren — dann bekommt man aber keine Verlängerung der Ketten geschenkt. Dass W = im N genau die Vektoren enthält, die ein Urbild haben, ist der ganze Punkt.
11 — Wozu
Die Jordanform ist kein numerisches Werkzeug — sie ist instabil, wie Kapitel 3 zeigt, und niemand rechnet sie auf einem Computer aus. Ihr Wert liegt darin, dass sie erklärt.
Beim linearen Differentialgleichungssystem x′ = Ax ist die Lösung etAx0. Für ein Jordankästchen zerfällt das Exponential in einen Eigenwert- und einen Schiebeanteil:
Die Reihe bricht ab, weil N nilpotent ist. Übrig bleibt ein Polynom mal eine Exponentialfunktion — und die Polynomgrade gehen genau bis zur Kästchengröße minus eins.
Dasselbe für Am. Ein Kästchen der Größe k liefert Terme der Bauart mk−1λm. Bei |λ| = 1 entscheidet das über Stabilität: diagonalisierbar heißt beschränkt, ein Kästchen größer als 1 heißt polynomielles Wachstum.
Struktur
Über C sind zwei Matrizen genau dann ähnlich, wenn sie dieselbe Jordanform haben. Damit ist die Klassifikation linearer Abbildungen abgeschlossen.
Grenzen
Winzige Rundungsfehler machen aus einem Kästchen zwei Eigenwerte. Numerisch nimmt man die Schur-Zerlegung oder die Singulärwertzerlegung.
Verwandt
Es ist das Produkt der (t−λ)k über die größten Kästchen. Diagonalisierbar heißt: Minimalpolynom hat nur einfache Nullstellen.
12 — Quellen
Der Satz geht auf Camille Jordan zurück, Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) — dasselbe Buch, das Galois' Theorie erstmals in lehrbuchfähige Form gebracht hat. Karl Weierstraß hatte kurz zuvor mit seiner Elementarteilertheorie ein äquivalentes Resultat.
Für den Beweis in Lehrbuchform: Fischer, Lineare Algebra, oder Bosch, Lineare Algebra — beide führen den nilpotenten Fall genau so über das Bild. Wer es kompakter mag, findet in Axler, Linear Algebra Done Right, einen determinantenfreien Zugang über verallgemeinerte Eigenräume.
Zur numerischen Seite und warum man die Jordanform dort meidet: Golub und Van Loan, Matrix Computations.