Auflösbarkeit · 1545 – 1832
Für Grad 2, 3 und 4 gibt es eine Lösungsformel — aus den Koeffizienten, mit endlich vielen Wurzeln. Ab Grad 5 nicht mehr. Das ist keine Wissenslücke, sondern ein Satz: Es kann sie nicht geben. Zwei junge Männer haben ihn bewiesen, keiner wurde dreißig.
01 — Die Frage
Die Mitternachtsformel kennt jeder. Man setzt die Koeffizienten ein, zieht eine Wurzel, und heraus fallen beide Lösungen. Genau diese Bauform ist gemeint, wenn Mathematiker von Auflösbarkeit durch Radikale sprechen.
Erlaubt sind: die Koeffizienten selbst, die vier Grundrechenarten und n-te Wurzeln. Endlich oft, in beliebiger Verschachtelung. Nicht erlaubt ist alles andere — kein Grenzwert, kein Näherungsverfahren, keine Integraltafel.
Der Unterschied ist entscheidend und wird oft verwechselt. Jedes Polynom fünften Grades mit reellen Koeffizienten hat fünf komplexe Nullstellen — das garantiert der Fundamentalsatz der Algebra. Man kann sie beliebig genau ausrechnen. Man kann sie nur nicht als Formel aus den Koeffizienten aufschreiben.
Der Trick besteht darin, den linearen Term verschwinden zu lassen. Man verschiebt die Variable um die halbe Steigung:
Eingesetzt in x2 + px + q fällt der t-Term weg:
Übrig bleibt eine reine Wurzel. Diese Idee — die Variable so verschieben, dass ein Term verschwindet — ist der Motor aller folgenden Kapitel. Bei Grad 3 heißt sie Reduktion auf die depressed cubic, bei Grad 4 benutzt Ferrari sie zweimal.
Der Turm
Eine Lösungsformel baut den Lösungskörper schrittweise auf: unten die Koeffizienten, dann bei jedem Schritt eine Wurzel dazu. Klick dich durch die Grade.
02 — 1515 bis 1545
Um 1515 löst Scipione del Ferro an der Universität Bologna den Fall x3 + px = q. Er veröffentlicht nichts. Stellen wurden damals in öffentlichen Rechenwettkämpfen verteidigt, und ein Verfahren, das sonst niemand kennt, ist Kapital. Er vertraut es auf dem Sterbebett seinem Schüler Antonio Fior an.
1535 fordert Fior den Rechenmeister Niccolò Tartaglia heraus: Jeder stellt dem anderen dreißig Aufgaben. Fior stellt lauter Kubiken — er hat ja die Formel. Tartaglia findet sie in der Nacht vor der Abgabe selbst und löst alle dreißig. Fior löst keine einzige.
Gerolamo Cardano, Arzt und Mathematiker in Mailand, bekommt die Formel 1539 von Tartaglia — gegen den Eid, sie nicht zu veröffentlichen. Sechs Jahre später erscheint sie trotzdem, in Cardanos Ars Magna. Seine Begründung: Er habe in Bologna del Ferros Originalnotizen gesehen und damit sei die Priorität eine andere. Tartaglia hat das bis zu seinem Tod als Wortbruch bezeichnet, und die Formel trägt bis heute Cardanos Namen.
Was in der Ars Magna steht, ist trotz allem eine der größten Leistungen der Renaissance-Mathematik. Sie enthält beides: den dritten Grad und, von Cardanos Schüler Lodovico Ferrari, den vierten.
Erst wird der quadratische Term weggeschoben, genau wie oben. Aus x3 + ax2 + bx + c wird mit x = t − a/3 die reduzierte Form:
Jetzt der Kunstgriff. Man schreibt die gesuchte Lösung als Summe zweier Unbekannter, t = u + v. Ausmultiplizieren ergibt
Eine Unbekannte ist frei — man darf zusätzlich 3uv = −p fordern. Dann verschwindet die ganze Klammer, und es bleibt ein System:
Summe und Produkt zweier Zahlen bekannt — das ist wieder eine quadratische Gleichung, diesmal in u3. Auflösen und die dritte Wurzel ziehen:
Die anderen beiden Lösungen bekommt man, indem man die dritte Wurzel mit den komplexen Einheitswurzeln ω und ω2 durchmultipliziert. Beachte den Bauplan: erst eine Quadratwurzel, dann eine Kubikwurzel. Der Turm aus dem ersten Kapitel hat genau zwei Stockwerke.
03 — 1572
Cardanos Formel hat einen Schönheitsfehler, der sich als das Gegenteil herausstellte. Wenn eine Kubik drei verschiedene reelle Lösungen hat, wird die Größe unter der Quadratwurzel negativ. Die Formel verlangt dann, aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen — um am Ende drei reelle Zahlen auszugeben.
Rafael Bombelli nahm das 1572 ernst statt es wegzuwerfen. Er rechnete mit den „unmöglichen“ Größen einfach weiter und sah, dass sie sich am Ende gegenseitig aufheben. Das ist die Geburtsstunde des Rechnens mit komplexen Zahlen — nicht aus Lust an der Abstraktion, sondern weil eine Formel für reelle Antworten sie erzwang.
Interaktiv
t3 + p t + q = 0. Schieb die Koeffizienten und beobachte die Diskriminante D — sobald sie negativ wird, hat die Kurve drei Nullstellen, und Cardanos Weg führt durch die komplexen Zahlen.
Hier ist p = −15, q = −4, also
Cardanos Formel liefert damit
Bombelli riet — und prüfte —, dass (2 + i)3 = 2 + 11i ist. Tatsächlich: (2+i)2 = 3 + 4i, und (3+4i)(2+i) = 6 + 3i + 8i − 4 = 2 + 11i.
Und 4 ist tatsächlich eine Lösung: 64 = 60 + 4. Der Punkt ist nicht das Ergebnis, sondern der Weg. Die Antwort ist eine ganze Zahl, aber die Formel kommt nur über die komplexen Zahlen dorthin.
Man könnte vermuten, es gäbe eine geschicktere Formel, die ohne den Umweg auskommt. Gibt es nicht. Der Casus irreducibilis ist ein Satz: Hat eine irreduzible Kubik mit rationalen Koeffizienten drei reelle Nullstellen, dann lassen sie sich nicht durch reelle Radikale allein ausdrücken.
Der Beweis dafür stammt aus derselben Theorie, die auch den fünften Grad erledigt — und wurde erst nach Galois geführt.
04 — 1540
Lodovico Ferrari kam mit vierzehn als Diener in Cardanos Haushalt. Cardano bemerkte, dass der Junge lesen und schreiben konnte, machte ihn zum Sekretär und dann zum Schüler. Mit etwa achtzehn löste Ferrari den vierten Grad.
Sein Verfahren hat eine Eigenschaft, die für alles Folgende wichtig ist: Es führt den vierten Grad auf den dritten zurück. Mitten in der Rechnung steht eine Hilfsgleichung dritten Grades, die Resolvente. Löst man die mit Cardano, fällt der Rest heraus.
Diese Hoffnung hat 250 Jahre gehalten. Sie war der Grund, warum niemand auf die Idee kam, dass gar nichts zu finden sein könnte. Man suchte nach der nächsten Resolvente — und fand tatsächlich eine, nur hatte sie den sechsten Grad. Statt das Problem zu vereinfachen, machte sie es größer.
Nach der üblichen Verschiebung liegt eine Quartik ohne Kubikterm vor:
Ferraris Idee: die linke Seite zu einer Differenz zweier Quadrate machen, denn die zerfällt sofort. Man addiert auf beiden Seiten einen Hilfsterm mit einer neuen Unbekannten z:
Links steht ein Quadrat. Damit auch rechts eines steht, muss die Diskriminante der rechten Seite verschwinden:
Das ist eine Kubik in z — die Resolvente. Jede ihrer Lösungen genügt. Mit einem solchen z steht dann Quadrat = Quadrat, man zieht auf beiden Seiten die Wurzel und hat zwei quadratische Gleichungen in y.
Der Turm ist damit ein Stockwerk höher als bei Grad 3: Quadratwurzel und Kubikwurzel für die Resolvente, dann eine weitere Quadratwurzel für die beiden quadratischen Gleichungen in y.
05 — 1545 bis 1799
Nach Ferrari passierte lange nichts. Ehrgeizige Rechner probierten Substitutionen, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus fand 1683 eine Transformation, die zwei Terme auf einmal wegräumt — bei Grad 5 blieb trotzdem eine Gleichung sechsten Grades übrig.
Der Erste, der die richtige Frage stellte, war Joseph-Louis Lagrange. In seinen Réflexions sur la résolution algébrique des équations von 1770/71 tat er etwas Ungewöhnliches: Statt eine neue Formel zu suchen, untersuchte er, warum die bekannten funktionieren.
Sein Befund: Jede der Methoden läuft darauf hinaus, aus den Lösungen einen Ausdruck zu bauen, der sich beim Vertauschen der Lösungen nur wenig ändert. Bei Grad 3 nimmt der entscheidende Ausdruck zwei Werte an, bei Grad 4 drei. Bei Grad 5 nimmt der entsprechende Ausdruck sechs Werte an — die Hilfsgleichung ist also höheren Grades als die ursprüngliche.
1799 legte Paolo Ruffini einen Unmöglichkeitsbeweis vor, über fünfhundert Seiten. Fast niemand las ihn, und die wenigen, die es taten, blieben skeptisch. Zu Recht: An einer Stelle setzt Ruffini stillschweigend voraus, dass alle in einer Lösungsformel auftretenden Wurzeln sich als rationale Ausdrücke in den Lösungen schreiben lassen. Das ist wahr — aber es ist ein eigener Satz, und Ruffini hat ihn nicht bewiesen.
Genau diese Lücke schließt fünfundzwanzig Jahre später ein Norweger.
06 — 1824
Niels Henrik Abel, geboren 1802 als zweites von sieben Kindern eines norwegischen Landpfarrers, glaubte mit neunzehn, die Gleichung fünften Grades gelöst zu haben. Er schickte die Arbeit nach Kopenhagen, wurde um ein Beispiel gebeten — und fand beim Durchrechnen den eigenen Fehler.
Drei Jahre später hatte er die Antwort, nur mit umgekehrtem Vorzeichen. 1824 ließ er auf eigene Kosten eine Schrift drucken: Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré. Sie hat sechs Seiten — nicht aus Eleganz, sondern weil er sich mehr nicht leisten konnte. Der Text ist stellenweise so gerafft, dass er kaum lesbar ist.
Ein Exemplar ging an Gauß in Göttingen. Der Überlieferung nach hat er es nicht aufgeschnitten. 1826 erschien eine ausgearbeitete Fassung im ersten Band von Crelles Journal für die reine und angewandte Mathematik.
Abel starb am 6. April 1829 an Tuberkulose, sechsundzwanzig Jahre alt. Zwei Tage später traf ein Brief ein: Crelle hatte ihm eine Professur in Berlin besorgt.
Angenommen, es gäbe eine allgemeine Lösungsformel für den Grad 5. Dann liefe sie über einen Turm von Radikalen, wie in Kapitel 1.
Schritt 1 — Ruffinis Lücke schließen. Abel zeigt: Jede Wurzel, die in einer solchen Formel vorkommt, lässt sich als rationale Funktion der Lösungen schreiben. Dieser Satz über die „natürlichen Irrationalitäten“ ist der eigentliche Fortschritt gegenüber 1799.
Schritt 2 — Werte zählen. Aus Cauchys Arbeiten von 1815 war bekannt: Eine rationale Funktion von fünf Variablen nimmt beim Vertauschen der Variablen entweder 1, 2 oder mindestens 5 verschiedene Werte an — 3 und 4 sind unmöglich.
Schritt 3 — Widerspruch. Jede Stufe des Radikalturms erzwingt für den zugehörigen Ausdruck eine ganz bestimmte Anzahl von Werten. Abel rechnet die Stufen durch und landet unweigerlich bei einer Anzahl, die nach Schritt 2 nicht vorkommen kann. Also gibt es den Turm nicht.
Der Beweis ist ein Unmöglichkeitsbeweis durch Abzählen. Er sagt, dass keine Formel existiert. Er sagt nicht, woran es liegt.
07 — 1830 bis 1832
Zur selben Zeit stellte ein knapp Zwanzigjähriger in Paris eine andere Frage. Nicht: Gibt es eine allgemeine Formel? Sondern: Welche Gleichungen sind auflösbar und welche nicht?
Der Zugang beginnt mit einer Beobachtung, die zunächst harmlos wirkt. Nimm die Lösungen einer Gleichung und frage, welche algebraischen Beziehungen mit rationalen Koeffizienten zwischen ihnen bestehen. Dann frage: Welche Vertauschungen der Lösungen lassen alle diese Beziehungen unverändert?
Diese Vertauschungen bilden eine Gruppe — die Galoisgruppe der Gleichung. Sie misst, wie viel Symmetrie die Lösungen haben — oder anders gesagt: wie wenig sich die Lösungen mit rationalen Mitteln voneinander unterscheiden lassen.
Körperseite
Man startet bei den rationalen Zahlen und fügt Wurzeln hinzu. Jeder Schritt vergrößert den Vorrat an Zahlen, die man hinschreiben kann.
Gruppenseite
Je größer der Zahlenvorrat, desto weniger Vertauschungen bleiben unbemerkt. Die Gruppe schrumpft, während der Körper wächst.
Das Wörterbuch
Zwischenkörper und Untergruppen entsprechen einander umkehrbar eindeutig. Das ist der Hauptsatz der Galoistheorie.
Jetzt kommt der Schritt, der alles entscheidet. Eine Wurzel zu adjungieren — also im Turm ein Stockwerk höher zu gehen — entspricht auf der Gruppenseite einem besonders einfachen Schrumpfen: Der Quotient ist zyklisch, also abelsch. Eine Lösungsformel ist nichts anderes als eine Kette solcher Schritte.
Eine endliche Gruppe G heißt auflösbar, wenn es eine Kette von Untergruppen gibt
bei der jedes Gi+1 ein Normalteiler in Gi ist und jeder Quotient Gi / Gi+1 abelsch ist.
Der Name kommt von genau dieser Anwendung: Eine solche Kette ist die Übersetzung einer Lösungsformel. Jeder Kettenschritt ist eine Wurzel.
Beispiele: Jede abelsche Gruppe ist auflösbar (Kette der Länge 1). Jede p-Gruppe ist auflösbar. Nach dem Satz von Feit–Thompson (1963) ist jede Gruppe ungerader Ordnung auflösbar — ein Beweis von 255 Seiten.
Sei L/K eine endliche, normale und separable Körpererweiterung mit Galoisgruppe G = Gal(L/K). Dann gibt es eine inklusionsumkehrende Bijektion
gegeben durch M ↦ Gal(L/M) und in der Gegenrichtung H ↦ LH, dem Fixkörper.
Dabei gilt [L : M] = |H|, und M/K ist genau dann normal, wenn H Normalteiler in G ist — und dann ist Gal(M/K) ≅ G/H.
Umkehrend heißt: Je größer der Zwischenkörper, desto kleiner die Gruppe. Ganz unten steht K mit der vollen Gruppe, ganz oben L mit der trivialen.
Das Wörterbuch
Links die Körper, rechts die Gruppen. Dieselbe Struktur, einmal von unten und einmal von oben gelesen — hier am Beispiel x3 − 2 = 0.
08 — Die Gegenüberstellung
Beide Männer haben dasselbe Resultat erreicht, und trotzdem etwas völlig Verschiedenes getan. Abel beantwortet die Frage, die gestellt worden war. Galois beantwortet die Frage, die man hätte stellen sollen.
| Abel · 1824/26 | Galois · 1830–32 | |
|---|---|---|
| Frage | Gibt es für den Grad 5 eine allgemeine Lösungsformel? | Welche Gleichungen sind durch Radikale lösbar? |
| Antwort | Nein. | Genau die, deren Gruppe auflösbar ist. |
| Werkzeug | Abzählen, wie viele Werte eine rationale Funktion der Wurzeln beim Vertauschen annimmt (nach Cauchy). | Einer Gleichung eine Gruppe zuordnen und Körper- in Gruppenstruktur übersetzen. |
| Im Zentrum | Die Formel und ihre Radikale. | Die Symmetrie der Lösungen. |
| Form | Ein Unmöglichkeitssatz. | Ein Kriterium — anwendbar auf jeden Einzelfall. |
| Erbe | Der Satz von Abel–Ruffini. | Die Galoistheorie, und mit ihr der Gruppenbegriff. |
Was der Unterschied praktisch bedeutet, zeigt ein Paar konkreter Gleichungen. Beide haben Grad 5. Abels Satz sagt über keine von beiden etwas — er handelt von der allgemeinen Gleichung. Galois' Kriterium entscheidet beide.
auflösbar
Die Lösungen sind ⁵√2 mal den fünften Einheitswurzeln — man kann sie hinschreiben. Die Galoisgruppe hat 20 Elemente und ist auflösbar.
nicht auflösbar
Sieht harmloser aus. Die Galoisgruppe ist die volle S5, und die ist nicht auflösbar. Für diese Gleichung gibt es keine Radikalformel.
Drei Beobachtungen genügen.
(1) Irreduzibel. Nach dem Eisenstein-Kriterium mit der Primzahl 3: Die Koeffizienten 0, 0, 0, −6 sind durch 3 teilbar, das Absolutglied 3 ist es auch, aber nicht durch 9. Also lässt sich das Polynom über Q nicht zerlegen. Daraus folgt, dass die Gruppe transitiv ist und ihre Ordnung durch 5 teilbar — sie enthält also einen Fünferzyklus.
(2) Genau drei reelle Nullstellen. Die Ableitung 5x4 − 6 hat zwei reelle Nullstellen, das Polynom also ein Hoch- und ein Tiefpunkt mit Funktionswerten unterschiedlichen Vorzeichens. Die Kurve schneidet die Achse dreimal; die übrigen zwei Nullstellen sind komplex konjugiert.
(3) Komplexe Konjugation. Sie vertauscht genau die beiden nicht-reellen Nullstellen und lässt die drei reellen fest — in der Gruppe ist das eine Transposition.
Ein Fünferzyklus und eine Transposition erzeugen zusammen die ganze S5. Damit ist die Gruppe der Gleichung S5, und nach Galois ist sie nicht durch Radikale lösbar.
Nebenbei: Genau dieses Argument ist ein Rezept. Man kann damit für praktisch jedes irreduzible Polynom fünften Grades mit drei reellen Nullstellen zeigen, dass es nicht auflösbar ist.
Abels Beweis ist kein schwächerer Vorläufer. Er ist vollständig, er ist korrekt, und er kam zuerst. Was er nicht liefert, ist ein Verfahren: Er sagt nichts darüber, ob eine bestimmte Gleichung lösbar ist.
Umgekehrt hat Galois' Theorie zu Lebzeiten niemanden überzeugt — sie war so weit von der damaligen Sprache entfernt, dass drei Gutachter der Académie sie nicht einordnen konnten. Erst als Liouville sie 1846 veröffentlichte und Camille Jordan sie 1870 in ein Lehrbuch goss, wurde daraus Mathematik, mit der man arbeiten kann.
09 — Der Bruch
Die allgemeine Gleichung n-ten Grades hat als Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe Sn — alle n! Vertauschungen der Lösungen bleiben unbemerkt, weil zwischen den Lösungen keine besonderen Beziehungen bestehen.
Die Frage nach der Lösungsformel wird damit zu einer reinen Gruppenfrage: Ist Sn auflösbar? Und da passiert etwas Merkwürdiges.
Die Kette
Auflösbar heißt: Es gibt eine Kette bis zur Einselementgruppe, bei der jeder Quotient abelsch ist. Für n = 2, 3, 4 findet man sie. Bei n = 5 bricht sie ab.
Der Grund für den Bruch hat einen Namen: A5 ist einfach. Sie besitzt außer sich selbst und der Einselementgruppe keinen einzigen Normalteiler — es gibt also nichts, wohin die Kette weitergehen könnte. Und sie ist nicht abelsch, also darf sie auch nicht der letzte Schritt sein.
A5 hat 60 Elemente, aufgeteilt in Konjugationsklassen:
| Zyklentyp | Anzahl | Ordnung |
|---|---|---|
| Identität | 1 | 1 |
| (a b)(c d) | 15 | 2 |
| (a b c) | 20 | 3 |
| (a b c d e) | 12 | 5 |
| (a b c d e)′ | 12 | 5 |
Die Fünferzyklen zerfallen in zwei Klassen zu je 12 — in S5 wären sie eine Klasse, aber das verbindende Element ist ungerade und liegt nicht in A5.
Ein Normalteiler ist eine Vereinigung ganzer Konjugationsklassen, enthält die Identität, und seine Größe muss 60 teilen. Bleibt, aus
eine Summe zu bilden, die 60 teilt. Es gibt genau zwölf Möglichkeiten: 1, 13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48, 60 — und von diesen teilen nur 1 und 60 die Zahl 60.
Also gibt es nur die trivialen Normalteiler. A5 ist einfach — und weil sie nicht abelsch ist, endet dort jede Auflösungskette.
„Gleichungen fünften Grades sind nicht lösbar“ ist falsch, in gleich zwei Richtungen. Erstens hat jede solche Gleichung fünf komplexe Lösungen, und man kann sie numerisch beliebig genau bestimmen. Zweitens haben viele Gleichungen fünften Grades sehr wohl eine Radikalformel — x5 − 2 = 0 etwa.
Unlösbar ist die allgemeine Gleichung: Es gibt keine einzelne Formel, die für alle Koeffizienten funktioniert. Ab Grad 5 muss man jeden Fall einzeln fragen — und Galois' Kriterium ist das Werkzeug dafür.
10 — 1811 bis 1832
Évariste Galois wurde am 25. Oktober 1811 in Bourg-la-Reine bei Paris geboren. Sein Vater war Bürgermeister des Ortes und überzeugter Republikaner — das eine wie das andere sollte für den Sohn Folgen haben.
Mit etwa fünfzehn stieß er in der Schulbibliothek auf Legendres Éléments de Géométrie. Ein Mitschüler berichtete später, er habe das Buch gelesen wie einen Roman. Danach interessierte ihn der übrige Unterricht nicht mehr. Die Aufnahmeprüfung der École polytechnique, der besten Adresse für Mathematik in Frankreich, bestand er zweimal nicht.
Im Juli 1829 nahm sich sein Vater das Leben. Ein royalistischer Ortspriester hatte boshafte Verse unter seinem Namen in Umlauf gebracht. Galois war achtzehn.
Seine Ergebnisse reichte er dreimal bei der Académie des sciences ein. 1829 ging die erste Fassung an Cauchy. Was genau geschah, ist unklar — belegt ist, dass Cauchy ihn ermutigte, die Arbeit zu überarbeiten; vorgetragen wurde sie nie, das Manuskript ist verschollen.
Im Februar 1830 reichte er für den Grand Prix de Mathématiques ein. Der Sekretär Joseph Fourier nahm das Manuskript mit nach Hause und starb im Mai. Auch dieses Exemplar tauchte nie wieder auf.
Der dritte Versuch, das Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, landete 1831 bei Siméon Denis Poisson. Dessen Gutachten fiel ablehnend aus: Die Argumentation sei „weder hinreichend klar noch hinreichend entwickelt“, man könne sich kein Urteil bilden. Dieses Manuskript ist erhalten — und es enthält die Theorie.
1830 schrieb Galois einen Brief an die Gazette des Écoles, in dem er den Direktor der École normale angriff, weil dieser die Studenten während der Julirevolution eingeschlossen hatte. Er flog von der Schule. Im Mai 1831 wurde er nach einem Bankett verhaftet — er hatte einen Trinkspruch auf König Louis-Philippe ausgebracht und dabei einen Dolch in der Hand gehalten, was als Morddrohung verstanden wurde; er wurde freigesprochen. Im Juli verhaftete man ihn erneut, weil er die verbotene Uniform der aufgelösten Artillerie der Nationalgarde trug und bewaffnet war. Sechs Monate Sainte-Pélagie.
Am Morgen des 30. Mai 1832 trat Galois zu einem Duell an. Der Anlass ist bis heute ungeklärt; die wahrscheinlichste Erklärung ist eine Auseinandersetzung um Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, die Tochter eines Arztes. Er wurde in den Bauch getroffen, blieb liegen und wurde von einem Bauern gefunden. Am nächsten Morgen starb er im Hôpital Cochin, zwanzig Jahre alt.
Überliefert sind die Worte an seinen Bruder Alfred: Weine nicht. Ich brauche meinen ganzen Mut, um mit zwanzig zu sterben. Beerdigt wurde er in einem Gemeinschaftsgrab auf dem Friedhof Montparnasse; die genaue Stelle ist unbekannt.
Die verbreitete Erzählung lautet, Galois habe in der Nacht vor dem Duell die ganze Theorie niedergeschrieben. Das stimmt so nicht. Die Hauptarbeit war seit 1831 fertig und lag bei der Académie.
Was er in jener Nacht schrieb, war ein langer Brief an seinen Freund Auguste Chevalier: eine Zusammenfassung seiner Ergebnisse, Hinweise auf das, was noch zu tun sei, und Ergänzungen zu Integralen und abelschen Funktionen. An den Rand einiger Stellen schrieb er Je n'ai pas le temps — ich habe keine Zeit. Diese Randbemerkungen sind echt. Die Vorstellung eines Zwanzigjährigen, der in einer Nacht die Algebra erfindet, ist eine spätere Ausschmückung.
Chevalier ließ den Brief 1832 in der Revue encyclopédique drucken. Gelesen wurde er kaum. Erst als Joseph Liouville die Papiere durcharbeitete und 1846 im Journal de Mathématiques Pures et Appliquées herausgab, begann die Wirkung — vierzehn Jahre nach Galois' Tod.
11 — Danach
Die Unlösbarkeit des fünften Grades ist heute eine Fußnote. Was blieb, ist das Werkzeug, das Galois erfinden musste, um sie zu erklären.
Begriff
Galois benutzte das Wort groupe als Erster in unserem Sinn und führte den Normalteiler ein. Aus einer Hilfskonstruktion wurde die zentrale Struktur der modernen Algebra.
Methode
Winkeldreiteilung und Würfelverdopplung — antike Konstruktionsprobleme, beide mit derselben Körpertheorie erledigt: Was mit Zirkel und Lineal geht, hängt am Grad der Erweiterung. Die Quadratur des Kreises brauchte zusätzlich Lindemanns Beweis von 1882, dass π transzendent ist.
Muster
Die Idee, zwei Welten durch ein umkehrendes Wörterbuch zu verbinden, wiederholt sich überall — bei Überlagerungen in der Topologie, in Grothendiecks Galoistheorie, in der Zahlentheorie.
Und noch etwas: Der Beweis, dass Fermats letzter Satz stimmt, läuft über Galoisdarstellungen — über die Frage, wie die Galoisgruppe auf den Torsionspunkten elliptischer Kurven operiert. Der Faden von 1832 führt direkt in Wiles' Arbeit von 1995.
Abel hat seinen eigenen Nachhall. Seit 2003 vergibt Norwegen den Abelpreis, der ausdrücklich als mathematisches Gegenstück zum Nobelpreis gedacht ist.
12 — Quellen
Galois' gesammelte Arbeiten in Liouvilles Ausgabe von 1846 sind digitalisiert verfügbar; der Brief an Chevalier steht darin am Ende. Für den Einstieg in die Theorie selbst sind Emil Artins Galois Theory (1942) und Ian Stewarts Galois Theory die üblichen Empfehlungen — Artin knapp und algebraisch, Stewart ausführlich und mit historischem Rahmen.
Zur Person ist Vorsicht geboten: Ein großer Teil der populären Galois-Literatur geht auf Eric Temple Bells Men of Mathematics (1937) zurück, das die Dramatik erheblich verstärkt. Die quellenkritische Gegendarstellung stammt von Tony Rothman („Genius and Biographers: The Fictionalization of Évariste Galois“, 1982).
Abels Schrift von 1824 ist in seinen Œuvres complètes enthalten; die ausgearbeitete Fassung steht in Band 1 von Crelles Journal, ebenfalls digitalisiert.