Der Rand war zu schmal

01 — 1637

Der Rand war zu schmal

Pierre de Fermat war von Beruf Jurist. Er studierte Zivilrecht in Orléans, arbeitete als Anwalt in Bordeaux und kaufte sich 1631 einen Ratsposten am Parlement von Toulouse — trotz des Namens kein Parlament, sondern einer der obersten Gerichtshöfe Frankreichs. 1642 rückte er in dessen Große Kammer auf. Mathematik betrieb er nebenher, im Briefwechsel mit Kollegen, und veröffentlichte zu Lebzeiten fast nichts. In sein Exemplar der Arithmetica des Diophant schrieb er neben eine Aufgabe über die Zerlegung von Quadratzahlen eine Behauptung — und den berühmtesten Halbsatz der Mathematikgeschichte.

xⁿ + yⁿ = zⁿ hat für n > 2 keine Lösung in positiven ganzen Zahlen

Für n = 2 gibt es unendlich viele Lösungen — 3² + 4² = 5² und alle ihre Verwandten. Fermats Behauptung ist, dass dieser Reichtum bei der dritten Potenz schlagartig aufhört und für jeden höheren Exponenten aufhört. Dazu schrieb er, er habe dafür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, den der schmale Rand nicht fasse.

Seite 61 der Arithmetica-Ausgabe von 1670 mit der gedruckten Observatio Domini Petri de Fermat unter Quaestio VIII — **Arithmeticorum Liber II, Seite 61.** Oben Diophants Aufgabe VIII — eine Quadratzahl in zwei Quadratzahlen zu zerlegen. Darunter, in eigener Überschrift: OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT. Diophantus, *Arithmetica*, Ausgabe Toulouse 1670 · gemeinfrei · Wikimedia Commons · für diese Seite verkleinert

Wortlaut

„Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.“

„Es ist hingegen nicht möglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen, oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate, und allgemein keine Potenz über der zweiten in zwei gleichnamige. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt. Doch dieser Rand ist zu schmal, um ihn zu fassen.“

Der Satz ist in einer Zeile aufzuschreiben und von jedem Schulkind zu verstehen. Genau das macht ihn zum Sonderfall: Kaum ein anderes offenes Problem der Mathematik war je so leicht zu erklären und so schwer zu lösen.

Was Fermat wirklich bewiesen hat

Einen Fall, und den vollständig: n = 4. Sein Werkzeug war der unendliche Abstieg — man nimmt eine Lösung an und konstruiert daraus eine kleinere, dann eine noch kleinere, und so fort. Da es unter den positiven ganzen Zahlen keine unendlich absteigende Kette gibt, kann die erste Lösung nicht existiert haben.

Der Abstieg bei n = 4

Fermat zeigt die stärkere Aussage, dass schon

x⁴ + y⁴ = z²

keine Lösung in positiven ganzen Zahlen hat. Daraus folgt der Fall n = 4 sofort, denn z⁴ ist ein Quadrat.

Der Kern: Aus einer angenommenen Lösung mit teilerfremden x, y lässt sich über die Parametrisierung pythagoreischer Tripel eine neue Lösung x₁⁴ + y₁⁴ = z₁² gewinnen, für die z₁ < z gilt. Wiederholung erzeugt eine streng fallende Folge natürlicher Zahlen — unmöglich.

Warum das nicht weiterhilft: Der Abstieg nutzt aus, dass sich vierte Potenzen als Quadrate von Quadraten schreiben lassen. Für Primexponenten gibt es diese Struktur nicht, und genau dort liegt das eigentliche Problem: Es genügt, den Satz für n = 4 und alle ungeraden Primzahlen zu zeigen, denn jeder größere Exponent enthält einen solchen Faktor.

Von einem allgemeinen Beweis findet sich in Fermats Nachlass keine Spur. Er hat die Behauptung später auch nie wiederholt — anders als andere seiner Sätze, mit denen er Zeitgenossen herausforderte. Das legt nahe, dass er den Fehler selbst bemerkte.

02 — 1637 bis 1985

Dreieinhalb Jahrhunderte, Fall für Fall

Was folgte, war kein Fortschritt in Richtung Beweis, sondern das Abarbeiten einzelner Exponenten. Jeder Fall kostete einen der besten Mathematiker seiner Zeit Jahre.

Wer	Wann	Was
Fermat	um 1640	n = 4, mit unendlichem Abstieg
Euler	1770	n = 3 — mit einer Lücke, die später geschlossen wurde
Sophie Germain	um 1820	erster Satz für eine ganze Klasse von Primzahlen auf einmal
Dirichlet, Legendre	1825	n = 5
Lamé	1839	n = 7
Kummer	1847	alle „regulären“ Primzahlen — der größte Sprung vor dem Finale

Der Fehler, aus dem eine Theorie wurde

1847 trug Lamé in Paris einen vermeintlichen Vollbeweis vor. Seine Idee: die linke Seite in Linearfaktoren zerlegen — allerdings nicht in den ganzen Zahlen, sondern unter Zuhilfenahme komplexer Einheitswurzeln. Der Schritt war elegant und der Beweis war falsch, weil er stillschweigend etwas voraussetzte, das dort nicht mehr gilt.

Warum die Zerlegung scheitert

Mit einer primitiven p-ten Einheitswurzel ζ zerfällt die Summe über dem Ring ℤ[ζ] in Linearfaktoren:

x^p + y^p = (x + y)(x + ζy) ⋯ (x + ζ^p−1y)

Lamé schloss daraus, jeder Faktor müsse selbst eine p-te Potenz sein — ein Argument, das in ℤ korrekt ist, weil dort die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.

In ℤ[ζ] ist sie das im Allgemeinen nicht. Kummer hatte bereits gezeigt, dass die eindeutige Zerlegung in irreduzible Elemente hier zusammenbricht. Er rettete die Idee durch Einführung „idealer Zahlen“ — der Vorläufer dessen, was heute Ideal heißt — und konnte damit alle Primzahlen behandeln, die eine bestimmte Teilbarkeitsbedingung erfüllen. Er nannte sie regulär. Die kleinsten irregulären Primzahlen sind 37, 59 und 67.

Damit war Fermats Satz für unendlich viele Exponenten erledigt — aber ob es unendlich viele reguläre Primzahlen gibt, ist bis heute offen. Der Weg über Kummer konnte also prinzipiell nicht zum Ziel führen.

Nach 350 Jahren war die Lage: viele Einzelfälle, kein Verfahren. Was fehlte, war nicht Fleiß, sondern ein Grund, warum der Satz wahr sein sollte.

03 — Der Umweg

Elliptische Kurven

Der Beweis, der am Ende gelang, redet gar nicht von Potenzen. Er redet von Kurven. Eine elliptische Kurve ist — trotz des Namens — keine Ellipse, sondern die Lösungsmenge einer Gleichung dieser Form:

y² = x³ + ax + b mit der Bedingung, dass die Kurve keine Spitze und keinen Selbstschnitt hat

Solche Kurven sind das Arbeitspferd der Zahlentheorie, weil sie eine seltene Eigenschaft haben: Man kann Punkte auf ihnen addieren. Zwei Punkte bestimmen eine Gerade, die Gerade trifft die Kurve in einem dritten Punkt, und dessen Spiegelung ist die Summe. Aus einer geometrischen Figur wird eine algebraische Struktur.

Zum Ausprobieren

Verstell a und b und schau, wie die Kurve zerfällt und wieder zusammenwächst. Die Diskriminante rechts zeigt, wann die Kurve entartet.

a b

Zwei Gestalten. Je nach Parametern besteht die Kurve aus einem Stück oder aus zweien. Der Übergang passiert genau dort, wo die Diskriminante null wird — und dort hört die Kurve auf, elliptisch zu sein.

Diskriminante und Gruppenstruktur

Die Kurve ist genau dann glatt — also elliptisch —, wenn

Δ = −16(4a³ + 27b²) ≠ 0

Verschwindet Δ, hat das kubische Polynom eine mehrfache Nullstelle, und die Kurve bekommt eine Spitze oder einen Selbstschnitt. Solche Kurven sind singulär und fallen aus der Theorie heraus.

Die Punkte einer elliptischen Kurve bilden mit der beschriebenen Addition eine abelsche Gruppe, mit dem unendlich fernen Punkt als neutralem Element. Interessant wird es, wenn man die Kurve nicht über ℝ, sondern modulo einer Primzahl p betrachtet: Dann hat sie endlich viele Punkte, und man kann sie zählen. Diese Anzahlen sind die Daten, aus denen die ganze Theorie ihre Kraft zieht.

a_p = p + 1 − #E(𝔽_p)

Die Folge dieser a_p ist der Fingerabdruck der Kurve. Merken — sie kommt gleich wieder.

04 — Die Brücke

Taniyama, Shimura und zwei getrennte Welten

1955 stellte Yutaka Taniyama auf einer Tagung in Tokio eine Frage, die so kühn war, dass sie zunächst kaum jemand ernst nahm. Goro Shimura arbeitete sie zu einer präzisen Vermutung aus. Sie behauptet eine Verbindung zwischen zwei Gebieten, die nichts miteinander zu tun zu haben schienen.

Welt A

Elliptische Kurven

Geometrie und Algebra. Man zählt Punkte modulo Primzahlen und erhält eine Folge von Zahlen — den Fingerabdruck der Kurve.

Herkunft: Diophantische Gleichungen, seit der Antike.

Welt B

Modulformen

Analysis. Extrem symmetrische Funktionen auf der komplexen Halbebene, so starr, dass es von jeder Sorte nur endlich viele gibt. Auch sie haben eine Zahlenfolge: ihre Fourier-Koeffizienten.

Herkunft: Funktionentheorie des 19. Jahrhunderts.

Die Vermutung sagt: Jede elliptische Kurve über ℚ hat einen Partner in der anderen Welt — eine Modulform mit exakt derselben Zahlenfolge. Zwei Sprachen, ein Text.

Was „modular“ genau heißt

Zu einer elliptischen Kurve E über ℚ gehört die Folge der a_p aus dem letzten Abschnitt. Aus ihr baut man die L-Funktion von E.

Eine Modulform f vom Gewicht 2 zur Stufe N ist eine holomorphe Funktion auf der oberen Halbebene mit einem sehr starken Transformationsverhalten unter der Gruppe Γ₀(N). Sie besitzt eine Fourier-Entwicklung

f(τ) = Σ_n≥1 c_n qⁿ, q = e^2πiτ

Modular heißt: Es gibt eine solche Form mit c_p = a_p für alle Primzahlen — die beiden L-Funktionen stimmen überein. Die Stufe N ist dabei der Führer der Kurve, eine Zahl, die misst, bei welchen Primzahlen die Kurve schlechte Reduktion hat.

Die Wucht der Vermutung liegt in der Endlichkeit auf der anderen Seite: Modulformen einer festen Stufe und eines festen Gewichts bilden einen endlichdimensionalen Vektorraum. Man kann sie also im Prinzip alle aufschreiben.

05 — 1984

Freys Kurve

Gerhard Frey stellte 1984 eine Verbindung her, an die vorher niemand gedacht hatte. Sein Gedanke: Angenommen, Fermat hätte unrecht und es gäbe doch eine Lösung aⁿ + bⁿ = cⁿ. Dann kann man aus diesen Zahlen eine elliptische Kurve bauen.

y² = x (x − aⁿ)(x + bⁿ) die Frey-Kurve, gebaut aus einer angenommenen Gegenlösung

Und diese Kurve wäre ungeheuerlich. Frey rechnete ihre Kenngrößen aus und stellte fest: Ihre Diskriminante ist eine perfekte n-te Potenz — eine Eigenschaft, die bei elliptischen Kurven praktisch nicht vorkommt. Eine solche Kurve, so seine Vermutung, könne unmöglich modular sein.

Warum die Kurve so auffällig ist

Die drei Nullstellen der rechten Seite sind 0, aⁿ und −bⁿ. Ihre Differenzen sind gerade aⁿ, bⁿ und aⁿ + bⁿ = cⁿ. Für die Diskriminante folgt

Δ = (abc)²ⁿ / 2⁸

Alle Primfaktoren treten also mit einem Vielfachen von n als Exponent auf. Bei geeigneter Normierung ist die Kurve semistabil, und ihr Führer ist das Produkt der Primteiler von abc — quadratfrei und im Verhältnis zur riesigen Diskriminante extrem klein.

Das ist der Punkt: Eine gewaltige Diskriminante bei winzigem Führer. Kurven mit diesem Missverhältnis kennt man sonst nicht.

Jean-Pierre Serre präzisierte 1985, was genau zu zeigen wäre, damit Freys Idee trägt. Seine Formulierung ging als Epsilon-Vermutung in die Literatur ein. Damit lag eine Aufgabe auf dem Tisch, die niemand lösen konnte — aber die endlich konkret war.

06 — 1986

Ribets Satz macht daraus eine Kette

Im Sommer 1986 bewies Ken Ribet die Epsilon-Vermutung. Damit war die Sache umgestellt: Fermats Satz war jetzt kein isoliertes Problem mehr, sondern eine Folgerung aus der Taniyama-Shimura-Vermutung.

Die Beweiskette

Ein Widerspruchsbeweis über vier Stationen. Klick auf einen Schritt.

Der Trick des Widerspruchsbeweises: Man muss Fermats Satz nicht direkt angreifen. Es genügt zu zeigen, dass sein Gegenteil ein Objekt erzwingt, das nicht existieren kann.

Die Pointe: ein Vektorraum der Dimension null

Ribets Satz ist ein Resultat über Niveausenkung. Er besagt, grob gesagt: Ist die zu einer semistabilen Kurve gehörige mod-n Galois-Darstellung modular, so kommt sie bereits von einer Modulform kleinerer Stufe — man kann alle Primzahlen aus dem Führer entfernen, bei denen die Darstellung unverzweigt ist.

Wendet man das auf die Frey-Kurve an, deren Führer die Primteiler von abc enthält, so lässt sich die Stufe bis auf N = 2 herunterdrücken. Man bräuchte also eine Modulform vom Gewicht 2 zur Stufe 2.

dim S₂(Γ₀(2)) = 0

Diesen Raum kann man ausrechnen, und er ist leer — die zugehörige Modulkurve hat Geschlecht null, es gibt dort keine einzige Spitzenform. Die geforderte Modulform existiert nicht, also existiert die Frey-Kurve nicht, also existiert die Lösung nicht.

Damit fehlte nur noch eines: der Nachweis, dass semistabile elliptische Kurven überhaupt modular sind.

07 — 1986 bis 1993

Sieben Jahre auf dem Dachboden

Andrew Wiles hörte von Ribets Resultat und traf eine ungewöhnliche Entscheidung: Er gab seine laufenden Projekte auf, erzählte niemandem außer seiner Frau davon und arbeitete sieben Jahre im Verborgenen. Der Grund war praktisch — hätte er sein Ziel genannt, wäre die halbe Zunft mitgelaufen.

Sein Angriffspunkt war nicht die volle Vermutung, sondern der semistabile Fall — und genau der genügt für Fermat. Die Methode: Statt Kurven zu zählen, verglich er zwei algebraische Objekte, eine Deformationsring genannte Konstruktion und eine Hecke-Algebra, und versuchte zu zeigen, dass sie übereinstimmen.

Im Juni 1993 hielt er am Isaac Newton Institute in Cambridge drei Vorträge unter dem harmlosen Titel Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations. Erst am Ende des dritten, am 23. Juni 1993, schrieb er Fermats Satz an die Tafel und sagte, er höre hier auf. Der Saal war voll, jemand hatte eine Kamera dabei, und binnen Stunden wusste es die Welt.

08 — September 1993

Die Lücke

Wie jede Arbeit ging auch diese in die Begutachtung. Das Manuskript war zu groß für einen einzelnen Gutachter, also wurde es in Kapitel aufgeteilt. Nick Katz, ein Kollege aus Princeton, bekam den schwierigsten Teil und arbeitete ihn Zeile für Zeile durch.

Im September 1993 stieß er auf eine Stelle, die sich nicht auflösen ließ. Wiles brauchte an einem Punkt eine obere Schranke für die Größe einer bestimmten Gruppe. Er hatte sie mit einer Erweiterung der Methode von Kolyvagin und Flach begründet — und diese Erweiterung trug nicht in der Allgemeinheit, in der er sie benutzte.

Kein Rechenfehler

Es war kein Vorzeichen und keine falsche Zeile. Es war ein Argument, das für einen Teil der Fälle funktionierte und für den Rest nicht — und ohne das der ganze Aufbau nicht schließt. So etwas repariert man nicht in einer Woche.

Wiles arbeitete ein Jahr lang daran, zunächst allein, dann mit seinem früheren Doktoranden Richard Taylor. Im Dezember 1993 machte er öffentlich, dass es ein Problem gab. Im Sommer 1994 war er nach eigener Aussage bereit aufzugeben.

09 — 19. September 1994

Die Rettung

Am 19. September 1994 sah Wiles sich noch einmal an, warum die Kolyvagin-Flach-Methode scheiterte. Und dabei fiel ihm auf, dass genau ihr Scheitern einen früheren Ansatz rettete, den er drei Jahre zuvor verworfen hatte: die Iwasawa-Theorie. Für sich genommen war keiner der beiden Wege gangbar. Zusammen schon.

Die Lösung bestand nicht darin, den Fehler zu reparieren, sondern darin, ihn als Hinweis zu lesen. Der zweite Weg funktionierte genau dort, wo der erste versagte.

Am 24. Oktober 1994 gingen zwei Manuskripte ein. Die Hauptarbeit stammt von Wiles allein, der kritische technische Baustein von Taylor und Wiles gemeinsam. Beide füllten im Mai 1995 eine komplette Ausgabe der Annals of Mathematics, zusammen 129 Seiten.

Arbeit	Autoren	Seiten
Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem	Andrew Wiles	443–551
Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras	Richard Taylor, Andrew Wiles	553–572

10 — Stand heute

Was daraus geworden ist

Wiles bewies die Taniyama-Shimura-Vermutung nur für semistabile Kurven — mehr brauchte er für Fermat nicht. Den allgemeinen Fall erledigten 2001 Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor. Seither heißt die Aussage nicht mehr Vermutung, sondern Modularitätssatz.

Auszeichnung

Zu alt für die Fields-Medaille

Die Fields-Medaille wird nur bis 40 vergeben; Wiles war 1994 einundvierzig. Er erhielt stattdessen eine eigens geschaffene silberne Plakette — und 2016 den Abelpreis.

Preisgeld

Der Wolfskehl-Preis

1908 ausgesetzt, Frist bis 2007. Wiles bekam ihn 1997. Durch Inflation und Währungsreformen war vom ursprünglichen Vermögen nur noch ein Bruchteil übrig.

Wirkung

Das Werkzeug war das Ergebnis

Nicht der Satz selbst hat die Zahlentheorie verändert, sondern die Methode: Der Vergleich von Deformationsringen und Hecke-Algebren ist heute Standardwerkzeug im Langlands-Programm.

Offene Frage

Und Fermats Beweis?

Praktisch ausgeschlossen. Der heutige Beweis benutzt Mathematik aus drei Jahrhunderten nach ihm. Dass Fermat auf elementarem Weg dasselbe erreicht haben soll, glaubt niemand — er hat sich vermutlich geirrt.

11 — Quellen

Nachlesen

Die Originalarbeit liegt hier als PDF. Sie ist kein Lesestoff für einen Abend — 109 Seiten, und sie setzt algebraische Zahlentheorie und Galois-Darstellungen voraus. Wer nur einen Blick riskieren will: Auf der ersten Seite steht Fermats Randnotiz im lateinischen Original, darunter die Widmung an Wiles' Familie.

Was	Wo
Wiles' Originalarbeit, 1995	Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (PDF, 109 Seiten) Erschienen in Annals of Mathematics 141 (3), 443–551
Der Beweis im Überblick	Wiles's proof of Fermat's Last Theorem
Vorlesungsnotizen zur Beweisstruktur	MIT 18.783, Vorlesung 25 (PDF)